Introducción. Estudiaremos los llamados modelos ARCH, GARCH, IGARCH, EGARCH, ARCH-M, TARCH, estos modelos son ideales para capturar fenómenos donde la varianza condicional es cambiante.   Estos son muy usados en el area de Finanzas, ya que un inversionista esta interesado en pronosticar la tasa de retorno y su volatilidad solamente sobre el periodo de tenencia, y es el emisor quien esta interesado en analizar el rendimiento y volatilidad esperados a lo largo de la vida del instrumento financiero.

El inversionista busca anticipar el rendimiento y riesgo del instrumento sobre un periodo de corto, analiza el riesgo que acepta a cambio de un rendimiento a recibir, por otra parte el emisor del titulo desea saber la posición que tiene este instrumento a lo largo de toda la vida del papel, ya que es el emisor quien tiene que ser consciente de la posición que guarda el instrumento que coloca en el mercado.

El inversionista mira la curva de carteras eficientes en el corto plazo, al momento que se modifica esta curva él entra al mercado (compra/vende) y obtiene la cartera que cumple con su plan de inversión. El emisor no puede manipular como el mercado sitúa al instrumento que ofrece por lo que la curva de carteras eficientes de largo plazo le da la línea de referencia para revisar el instrumento enviado al mercado.

La noción es que la curva de las carteras eficientes del corto plazo se mueve alrededor de la curva de largo plazo. 

En realidad cada cartera  tiene una posición (de largo plazo) y los movimientos cotidianos del mercado originan perturbaciones dando lugar a los ajustes de corto plazo. El banco central al realizar una subasta de los títulos libres de riesgo modifica la posicion de esta curva, generando expectativas de títulos que tendrán que bajar su precio ( y se manifiestan por ventas) y otros habrán de subir los cuales todo mundo los quiere comprar  de inmediato.

Hay actualmente una discrepancia importante entre dos posiciones: La noción de que estos movimientos erráticos  son solo debidos al azar por lo que son modificaciones negligibles, mientras que en la noción de predictabilidad es que se abren ventanas durante las cuales las desviaciones son significativas y es posible obtener resultados a partir de un cuidadoso análisis de riesgo.

Es por esta razón que el inversionista tiene interés en analizar media y varianza condicional y el emisor es quien considera, además, la media y varianza no condicional.

Todos los modelos a analizar se basan en la idea de que se modela en la media condicional y la varianza condicional simultáneamente. Para decir la misma idea en forma simple, el analista propone un modelo de regresión (media condicional) pero además propone un mecanismo que controla la evolución de los errores (varianza condicional), se busca incorporar el hecho de que la volatilidad tiene altas y bajas (esta se mide por la desviación estándar condicional).

La diferencia entre condicional y no condicional es que la expectativa condicional se refiere a una expectativa hacia el futuro pero sujeta a la información acumulada hasta el tiempo t.   La no condicional no modifica el conjunto de información.

Si W denota al conjunto de información disponible sobre el proceso { x_t } . La expectativa condicional es la esperanza matemática restringida al espacio que genera el conjunto

W _t = { { x_s } , s £ t } es claro que conforme pasa el tiempo mayor información se acumula hasta llegar al total:

W _{t Í} W _{t+1 Í} W _{t+2 Í} … Í W    y  como es de esperar  

W = { { x_s } , s < ¥ }

. Donde el termino a_t es un proceso N(0,s²)

A) Su media no condicional o sea, la posición de largo plazo es:

  es constante se despeja y se obtiene  

B) Por otra parte su media condicional  (al tiempo t) y así su posición de corto plazo es:

Note que y_t e W_t  ya es parte del conjunto de información.

C) Pasando a la varianza no condicional esta es constante y esta dada por:

Var[ y_t ]=Var[ r₀ + r₁ y_t-1 + a_t] = r²₁ Var[y_t-1] + Var[a_t] = r²₁ Var[y_t] + s²

Despejando para la varianza se tiene:  Var[ y_t ]= s² / (1 - r²₁ )

Var[ y_t - E[y_t-1 | W _t-1] ]= Var[ y_t - (r₀ + r₁ y_t-1) ]= Var[ a_t] = s²

ARCH que fueron generados por Robert Engle en 1982. Los modelos autoregresivos de heterocedasticidad condicional son cuando el termino error esta dado por:

a_t = s (t)v_t

s²(t) = a₀ + a₁ a²(t-1)

donde  v_t » IID N(0,1) = NRND     a_t y  v_t  son independientes,

3.- La varianza  no condicional de { a_t }  es constante y esta dada por:

           a²_t = s²(t) v²_t = [a₀ + a₁a²(t-1)]v²_t

5.- La varianza condicional esta dada por:

E[a²_t|W _t-1]   =

               = E[ (a₀ + a₁ a²(t-1) ) v²_t |W _t-1]

              = a₀ + a₁ E[a²(t-1) |W _t-1]E[v²_t |W _t-1]

            = a₀ + a₁ E[a²(t-1) |W _t-1]      E[v²_t |W _t-1] = 1

            = a₀ + a₁ a²(t-1)

a²(t-1) es parte del conjunto de información W _t-1

Esta ultima relación nos dice que los errores están bajo los dictados de un proceso AR(1) condicional, de allí su nombre ARCH.

Es natural extender esta clase de modelos a expresiones de la forma:

El primero se llama un ARCH(2) y el segundo una ARCH(q), con estos se incorpora al análisis los fenómenos de volatilidad variable, como son los episodios de alto nerviosismo en el mercado.     Estos tienen media cero y una varianza no condicional dada por:

Se presenta un ejemplo de una ARCH(3)  generado por:   

ARMA-ARCH.  Es factible estimar  un modelo de regresión o un ARMA y desear incluir esta técnica para modelar los errores. El método consiste en primero elaborar el modelo de regresión ( o ARMA)  y con los residuos del modelo iniciar  un análisis ARCH ( para GARCH es igual) .

Digamos que el modelo es    y_t = r₀ +r₁y_t-1 + a_t

a_t = s (t)v_t

s²(t) = a₀ + a₁ a²(t-1)

recuerde que v_t  @ N(0,1)

La varianza condicional es:

                              = E[y_t - ( r₀ + r₁y_t-1) ]²

                                           = Var[ a_t  ê W _t-1 ]

                                           = E[a²(t) |W _t-1]

                              = a₀ + a₁ a²(t-1)

Mientras que la varianza no condicional esta dada por:

a_t = s (t)v_t

GARCH, los modelos de generalizados de heterocedasticidad condicional , ideados por Bollerslev en 1986. Tienen la misma cualidad de reproducir periodos de volatilidad con periodos tranquilos, sin embargo es bien sabido que son modelos que requieren menos parámetros por lo que dan parsimonia y los hace preferidos. Tienen las mismas bases en su construcción por lo que no repetiremos estos puntos, sin embargo no se debe olvidar que el proceso {at } tiene media cero y varianza condicional.

un GARCH(1,1) esta definido como:

Con esta motivación, es sencillo mirar que expresión le corresponde a un GARCH(p,q).

Las restricciones para los parámetros son ahora:

Por lo que la varianza no condicional esta dada por

Vale la pena notar que si se define el proceso:

El proceso GARCH(p,q) puede reparametrizarse como:

m= max(p,q) donde wt es un proceso de innovaciones con media cero, no correladas aunque heterocedásticas. Es importante esta representación pues es la que justifica la siguiente afirmación: un GARCH es un ARMA en la generación de la varianza condicional. Por lo que el uso de la autocorrelación y la autocorrelación parcial continua siendo igual,  se buscan los picos, para estos modelos los valores usuales con series financieras son p,q= 0, 1, 2.

Los pronósticos de la varianza para adelantar s-periódos se calculan por la conocida formula, m=max(p,q) n=min(m,s-1):

Es bueno hacer el caso para un GARCH(1,1)

este se reparametriza como ARMA del siguiente modo:

Vea que  se llega al limite de romper con la condición de estacionariedad imponiendo

Se tiene un modelo IGARCH(1,1)

en este modelo al reparametrizarlo como antes llegamos a un interesante resultado:

El modelo IGARCH(1,1) es una serie que posee una raíz unitaria en la varianza condicional, por lo que la línea de evolución volátil es probabilística ( Engle y Bollerslev 1986)

Simule en su computador el  AR(4) - IGARCH(1,1)

note que 0.17+0.83 =1

Si se genera en la PC un modelo de la forma:

Tiene interesantes aplicaciones en el contexto de Rikmetrics, siendo x(t) la variacion absoluta del valor de una cartera.

Se invita al lector interesado a que genere, en la PC, algunos procesos IGARCH(p,q) estos son de la forma:

Las restricciones para los parámetros son ahora:

(G) ARCH-M Una clase de modelos que ha sido estudiada con sumo cuidado es la familia (G) ARCH-M, ya que esta tiene la interesante característica de que la varianza condicional aparece como un regresor en el modelo siendo que en 1987 Engle , Lilien y Robins generan esta clase de modelos para permitir que la media condicional dependa de la varianza condicional, el interés por su estudio viene por los modelos que se usan en el mercado de capitales llamados CAPM en este contexto la noción fundamental es comparar dos variables una el rendimiento del titulo respecto de la tasa libre de riesgo y la otra el rendimiento del mercado, ambos, respecto de la tasa libre de riesgo. La relación entre estos dos excesos de rendimiento (del titulo y del mercado) esta dada por una constante llamada su beta y es la que permite analizar el desempeño del titulo en relación al desempeño del mercado.

En otras palabras si el rendimiento, una vez descontada la tasa libre de riesgo, de una acción es: ra - rCETE, mientras que el correspondiente rendimiento del mercado, una vez descontada la tasa libre de riesgo, es: rM - rCETE ( rM es rendimiento del IPyC). La afirmación fundamental se hace clara al reconocer que el rendimiento que pueda tener un titulo dependerá de las condiciones que presente la economía, estas condiciones se reflejan en el índice general del mercado bursátil. La idea fundamental es : El exceso de rendimiento de un titulo es una relación directa, llamada su beta, del rendimiento que ofrece el mercado.

exceso de rendimiento de un titulo = beta (exceso de rendimiento del mercado)

tambien se le conoce esta relación como:

            premio al riesgo = beta *premio del mercado

                ra - rCETE = ßeta  (rM - rCETE )

aplicamos el operador varianza y se tiene:

Var [ra - rCETE] = ß2 Var[(rM - rCETE )]

sacando la raíz y así tomando la desviación estándar que es la medida de la volatilidad.

Desv.Est.(ra - rCETE) = ß Desv.Est.(rM - rCETE)

viendo esta ultima relación y recordando que la desviación estándar es una medida del riesgo, concluimos que: La beta mide el riesgo de un titulo en relación al riesgo del mercado. .

La relación básica:

ra = rCETE + ß (rM - rCETE )

el leída usualmente por el personal financiero como:

tasa de rendimiento = tasa libre de riesgo + sobretasa .

ejemplos:

tasa rendimiento Alfa = tasa Cete + sobretasa Alfa

tasa rendimiento Telmex = tasa Cete + sobretasa Telmex

tasa rendimiento Vitro = tasa Cete + sobretasa Vitro

Cada instrumento tiene su propia sobretasa la cual esta dada por su beta, ß, esta mide como reacciona el rendimiento del titulo en relación al rendimiento que ofrece la cartera de mercado, en esta dirección lo importante es distinguir entre dos casos.

Cuando se cumple la condición: ß < 1 a esta beta se le llama "defensiva", porque aminora las variaciones que presenta rM, en este caso el poseedor del titulo sabe que la beta defensiva es un escudo frente a las grandes caídas en el rendimiento del mercado, por lo que le aminora su perdida cuando todo el mercade va a la baja,   también pasa el análogo cuando el mercado ofrece mejores rendimientos como ß < 1 el titulo le dará menores rendimientos que los que da la cartera del mercado.

Por otra parte cuando se cumple la condición ß > 1, se le llama una beta "agresiva" ya que magnifica las experiencias del mercado, cuando el mercado va a la alza el rendimiento de este titulo sube más y por tanto ofrece mejores rendimientos que la cartera del mercado, pero también cuando el mercado se desploma los rendimientos de este valor se hundirán.

En este sentido podemos entender que la beta mide la sensibilidad de los activos de la empresa para generar riqueza en relación a la economía, expresada por el rendimiento del mercado en su conjunto. Una empresa "agresiva" genera mas riqueza que el promedio, mientras que una empresa "defensiva" es cautelosa.

En (muy raras) ocasiones se obtienen betas negativas, llamadas superdefensivas, estas no son frecuentes de observarse, pero de tener una cartera con solo dos valores uno con una beta negativa y otro con una beta positiva, manejando adecuadas proporciones de los títulos en esta simple cartera es posible diversificar totalmente el riesgo enviándolo a cero.

Uno podría hallar estimaciones empíricas de las betas de las empresas realizadas por medio de la regresión lineal simple, o sea aplicar mínimos cuadrados ordinarios a:

ra - rCETE = ß (rM - rCETE ) +error

Si embargo uno NO debe dejar de observar que se esta suponiendo que la varianza es constante, lo cual en los  mercados de capitales este es un supuesto heroico.

El modelo ARCH-M ha resultado muy interesante ya que incorpora el efecto ARCH directamente en las variables explicativas, aunque algunas veces resulta no significativo si el rendimiento de mercado, compite como otro regresor en el modelo.

Vamos a movernos en un contexto donde los agentes tienen aversión al riesgo (en el sentido de que son renuentes a aceptar mayores riesgos si no hallan que el rendimiento del activo compensa el riesgo asumido). Dentro del modelo veremos que esta construido de modo que al ser la desviación estándar (y así la varianza) una medida del riesgo. El rendimiento esperado es una función creciente del nivel que presenta la varianza condicional.

El modelo (G) ARCH-M(p,q) simple esta dado por:

Estos modelos son especialmente útiles para evaluar el rendimiento de títulos accionarios ya que la volatilidad debida al nerviosismo, repercute en los rendimientos del instrumento.

Se presenta un modelo GARCH-M generado como:

yt=1 + 0.5*ht +et

et = vt *sqr(ht)

ht= 4+0.05*e(t-1)*e(t-1)+0.75*e(t-2)*e(t-2)+0.15*h(t-1)

La prueba ARCH-LM  consiste en  mirar si hay efecto ARCH, para lo cual se conservan los residuos, denotados por {ut } y se corre la regresión auxiliar:

Si hay un modelo ARCH-M tiene que manifestarse una importante correlación cruzada entre la variable ( el rendimiento)   y la desviación estándar condicional.

La razón por la cual estos modelos han resultado importantes se comprende cuando observamos que:

2.- Los errores pueden ser un proceso MA.

3.- Pueden ir otras variables como regresores.

4.- Pueden los retrasos de la variable Y ir como regresores.

Un ejemplo de este proceso lo tenemos con:

ht= 1+0.45e(t-1)e(t-1)+0.25h(t-1)

et = vt sqr(ht)

ut = et-0.6e(t-1)+1.2e(t-2)

yt=1 -0.48y(t-2) + 0.7sqr(ht) +ut

EGARCH. En 1993 J. of Finance, Engle y Ng, definen la curva de impactos asimétricos, en la cual hacen notar que en el mercado de capitales no repercuten igual las buenas noticias que las malas noticias, los movimientos a la baja en el mercado vienen con mayores volatilidades que a la alza.

Cuando el rendimiento cae por abajo de lo esperado nos lleva a un escenario donde las noticias son malas esto viene asociado a observar que la volatilidad se incrementa y por otra parte cuando las noticias son buenas la volatilidad disminuye. Del desarrollo de modelos con varianza condicional variable hay dos familias de modelos que pueden modelar esta característica: EGARCH y TARCH.

En 1990 Pagan y Schwert y en 1991 Nelson trabajaron el modelo exponencial GARCH, denotado como EGARCH, el cual esta definido como:

Vea que un modelo GARCH tiene la limitación de que trata los efectos de modo simétrico debido a que utiliza los cuadrados de las innovaciones. Otra importante limitación son las desigualdades que tienen que cumplir los parámetros, estas restricciones eliminan el comportamiento al azar-oscilatorio que pueda presentar la varianza condicional. En un modelo EGARCH no hay restricciones en los parámetros.

El caso general es

La gráfica corresponde a un modelo EGARCH(1,1)

TARCH. El segundo tipo de modelos que son capaces de producir efectos asimétricos son los llamados modelos TARCH, (Threshold Heteroskedastic Autoregresive Models) son modelos que dependen de un umbral ( threshold) por medio del cual definen su reacción.